December 2012

Home > Archives for December 2012

Garis Sejajar

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7cbJ3FgNudR5_DXDMiqv9Ofh0SwUOHI_tLaceWCCPhAnl7n_9wi4-3E90B2iK0Ov5rSVLZHKCo_PQy-5lS5jId2jF0fxTKYTNwQqU8nwBWzPWZwoXnJUqXVF8Jx0YGGc4qevEByA2WPod/s1600/capture-81.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="173" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7cbJ3FgNudR5_DXDMiqv9Ofh0SwUOHI_tLaceWCCPhAnl7n_9wi4-3E90B2iK0Ov5rSVLZHKCo_PQy-5lS5jId2jF0fxTKYTNwQqU8nwBWzPWZwoXnJUqXVF8Jx0YGGc4qevEByA2WPod/s1600/capture-81.png" width="200" /></a></div>
 
 
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding: 0px;">
Garis adalah kumpulan dari titik-titik. Ujung dari sebuah garis adalah titik. Tentunya, kita sudah mengetahui apa itu garis. Karena sejak SD, bahkan sejak TK kita sudah diajari menulis atau menggambar sebuah garis.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Pembicaraan kita kali ini hanya pada Garis Lurus. Jadi, garis yang kita bicarakan bukan yang belok. Bukan garis lengkung atau yang lain. Istilah yang sangat popular dalam garis adalah vertikal, horizontal.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Garis vertical kita artikan sebagai garis yang berdiri. Dan garis horizontal adalah garis yang tidur. Itu yang mungkin kita pelajari ketika SD dulu.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Ujung sebuah garis adalah titik. Ini perlu diingat.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Kemiringan suatu garis atau gradient ini adalah besarnya sudut yang dibentuk dari suatu garis tersebut terhadap garis horizontal. Besarnya kemiringan dimulai dari negative tak hingga dan sampai menuju tak terhingga. Setiap garis lurus pasti mempunyai kemiringan.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Perhatikan gambar di bawah ini!</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<a href="http://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/tgk-lrs-sjjr-brptngn.jpg" style="color: #2970a6; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-decoration: none;"><img alt="" class="size-medium wp-image-303 aligncenter" height="178" src="http://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/tgk-lrs-sjjr-brptngn.jpg?w=364&h=178" style="border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-image: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; display: block; margin-bottom: 0px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; max-width: 600px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" title="tgk lrs sjjr brptngn" width="364" /></a></div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Sejajar</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Dua garis dengan kemiringan yang sama dan tidak seletak disebut garis-garis yang sejajar.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Garis m dan garis n mempunyai kemiringan yang sama. Jika garis m terus diperpanjang. Dan garis n juga terus diperpanjang.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Maka, sampai sepanjang apapun, kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan. Jika dua garis mempunyai kemiringan yang sama, maka kedua garis tersebut tidak mungkin akan bertemu. Ini adalah hal penting yang harus diingat.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Tidak sejajar</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Sedangkan, dua buah garis yang mempunyai kemiringan berbeda. Maka kedua garis tersebut disebut garis yang tidak sejajar. Jika dua garis tidak sejajar, maka akan ada perpotongan diantara dua garis tersebut.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Dua garis yang memiliki kemiringan berbeda, maka pasti suatu saat nanti dua garis tersebut akan bertemu dan berpotongan tepat hanya di satu titik.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Perpotongannya hanya di satu titik. Misalnya gambar di atas. Garis k dan garis l. kedua garis tersebut memiliki kemiringan yang berbeda. Sehingga nanti jika diperpanjang terus, pasti kedua garis tersebut akan bertemu.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Perhatikan saja garis k dan garis l. kedua garis tersebut bertemu hanya di satu titik. Titik potongnya hanya ada satu yaitu titik S.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Tegak Lurus</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Dua garis dikatakan tegak lurus jika kemiringan garis pertama dikalikan kemiringan garis kedua hasilnya adalah negative satu.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Garis p dan garis q adalah garis yang tegak lurus. Garis yang tegak lurus akan membentuk sudut 90 derajat (sudut siku-siku). Garis vertical dan garis horizontal yang saling berpotongan adalah dua garis yang saling tegak lurus.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Istilah tegak lurus ini nantinya akan sangat penting. Dan akan benyak digunakan pada garis singgung. Misalnya garis singgung lingkaran atau yang lainnya. Yang paling sangat berhubungan dengan tegak lurus ini adalah siku-siku. Siku-siku adalah sebuah besar sudut yang besarnya 90 derajat.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Ini akan sering digunakan pada trigonometri, segitiga siku-siku. Persegi dan persegi panjang, dan lain-lain.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Tegak lurus antara dua buah garis, pada sebuah persamaan garis dikatakan bahwa dua garis saling tegak lurus jika <img alt="m_1" class="latex" src="http://s0.wp.com/latex.php?latex=m_1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" style="border-bottom-style: none; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-left-width: 0px; border-right-style: none; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-style: none; border-top-width: 0px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; max-width: 600px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="m_1" /> (kemiringan garis pertama) dikalikan <img alt="m_2" class="latex" src="http://s0.wp.com/latex.php?latex=m_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" style="border-bottom-style: none; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-left-width: 0px; border-right-style: none; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-style: none; border-top-width: 0px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; max-width: 600px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="m_2" /> (kemiringan garis kedua) hasilnya adalah negative satu. Jika dituliskan dalam bentuk matematika,</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;">
<img alt="m_1 \times m_2 = -1" class="latex" src="http://s0.wp.com/latex.php?latex=m_1+%5Ctimes+m_2+%3D+-1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" style="border-bottom-style: none; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-left-width: 0px; border-right-style: none; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-style: none; border-top-width: 0px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; max-width: 600px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="m_1 \times m_2 = -1" /></div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
dengan m adalah kemiringan suatu garis.</div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
 </div>
<div style="background-color: white; color: #555555; font-family: Verdana, 'BitStream vera Sans', Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Rumus ini akan sering digunakan pada suatu garis pada persamaan didalam koordinat cartecius. Untuk menentukan dua buah garis yang tegak lurus pada dua buah persamaan garis, rumus ini yang akan digunakan.</div>
</div>
</div>

G aris adalah kumpulan dari titik-titik. Ujung dari sebuah garis adalah titik. Tentunya, kita sudah mengetahui apa itu garis. Karena ...

Persamaan Linier

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4-OgFTOUpp5QmWNWgL-DgrrzT3b6-Zy8IrR8Nm9h84LuOdAWq0dD6Jtb83hIQkehzU_45dNs036SC09kSNNPw01M73sbj14OyPdoAz3tGpsElrw113B6AbUpNkrmLhcZq2BAe60wGl40w/s1600/download+(1).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="110" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4-OgFTOUpp5QmWNWgL-DgrrzT3b6-Zy8IrR8Nm9h84LuOdAWq0dD6Jtb83hIQkehzU_45dNs036SC09kSNNPw01M73sbj14OyPdoAz3tGpsElrw113B6AbUpNkrmLhcZq2BAe60wGl40w/s1600/download+(1).jpg" width="200" /></a></div>
 
<h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel</h2>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.</div>
<h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
Bentuk Umum</h3>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="Ax + By + C = 0,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/e/7/fe70eb55a73ac2c2797af797140ceda9.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.</dd></dl>
<h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
Bentuk standar</h3>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="ax + by = c,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/8/938275339ba2e919c503a9bc7a094357.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.</dd></dl>
<h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
Bentuk titik potong gradien</h3>
<h4 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; font-family: sans-serif; font-size: 15px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
Sumbu-y</h4>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="y = mx + b,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/2/4/d24ebc87176b242c935535a363c5fc10.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.</dd></dl>
<h4 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; font-family: sans-serif; font-size: 15px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
Sumbu-x</h4>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="x = \frac{y}{m} + c,\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/2/9d28e625a19c92f6e4d399c9ef16b5e2.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;">dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
ء-</div>
<h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel</h2>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/8/e/d8ea72a9337f856e607ad2b87c3c6656.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a1 adalah koefisien untuk variabel pertama, x1, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.</div>
</div>

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum alj...

fisika(cahaya)

<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
 
<script type="text/javascript">
 google_ad_client = "ca-pub-8403011644932392";
 google_ad_slot = "3642148660";
 google_ad_width = 728;
 google_ad_height = 15;
</script>

<script src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js" type="text/javascript">
</script>
 
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Cahaya adalah energi berbentuk gelombang elekromagnetik yang kasat mata dengan panjang gelombang sekitar 380–750 nm.[1] Pada bidang fisika, cahaya adalah radiasi elektromagnetik, baik dengan panjang gelombang kasat mata maupun yang tidak. [2][3] Selain itu, cahaya adalah paket partikel yang disebut foton. Kedua definisi tersebut merupakan sifat yang ditunjukkan cahaya secara bersamaan sehingga disebut "dualisme gelombang-partikel". Paket cahaya yang disebut spektrum kemudian dipersepsikan secara visual oleh indera penglihatan sebagai warna. Bidang studi cahaya dikenal dengan sebutan optika, merupakan area riset yang penting pada fisika modern.</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
 </div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Studi mengenai cahaya dimulai dengan munculnya era optika klasik yang mempelajari besaran optik seperti: intensitas,frekuensi atau panjang gelombang, polarisasi dan fase cahaya. Sifat-sifat cahaya dan interaksinya terhadap sekitar dilakukan dengan pendekatan paraksial geometris seperti refleksi dan refraksi, dan pendekatan sifat optik fisisnya yaitu: interferensi,difraksi, dispersi, polarisasi. Masing-masing studi optika klasik ini disebut dengan optika geometris (en:geometrical optics) danoptika fisis (en:physical optics).</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
 </div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Pada puncak optika klasik, cahaya didefinisikan sebagai gelombang elektromagnetik dan memicu serangkaian penemuan dan pemikiran, sejak tahun 1838 oleh Michael Faraday dengan penemuan sinar katode, tahun 1859 dengan teori radiasi massa hitam oleh Gustav Kirchhoff, tahun 1877 Ludwig Boltzmann mengatakan bahwa status energi sistem fisik dapat menjadi diskrit,teori kuantum sebagai model dari teori radiasi massa hitam oleh Max Planck pada tahun 1899 dengan hipotesa bahwa energiyang teradiasi dan terserap dapat terbagi menjadi jumlahan diskrit yang disebut elemen energi, E.</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Pada tahun 1905, Albert Einstein membuat percobaan efek fotoelektrik, cahaya yang menyinari atom mengeksitasi elektronuntuk melejit keluar dari orbitnya. Pada pada tahun 1924 percobaan oleh Louis de Broglie menunjukkan elektron mempunyai sifat dualitas partikel-gelombang, hingga tercetus teori dualitas partikel-gelombang.</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
 </div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Albert Einstein kemudian pada tahun 1926 membuat postulat berdasarkan efek fotolistrik, bahwa cahaya tersusun dari kuantayang disebut foton yang mempunyai sifat dualitas yang sama. Karya Albert Einstein dan Max Planck mendapatkan penghargaan Nobel masing-masing pada tahun 1921 dan 1918 dan menjadi dasar teori kuantum mekanik yang dikembangkan oleh banyak ilmuwan, termasuk Werner Heisenberg, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, David Hilbert, Roy J. Glauber dan lain-lain.</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
 </div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Era ini kemudian disebut era optika modern dan cahaya didefinisikan sebagai dualisme gelombang transversal elektromagnetik dan aliran partikel yang disebut foton. Pengembangan lebih lanjut terjadi pada tahun 1953 dengan ditemukannya sinar maser, dan sinar laser pada tahun 1960. Era optika modern tidak serta merta mengakhiri era optika klasik, tetapi memperkenalkan sifat-sifat cahaya yang lain</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
 </div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
 </div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
</div>
<div class="thumb tright" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;">
<div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-image: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; font-size: 12px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 352px;">
<img alt="" border="0" class="thumbimage" height="332" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Light-wave.svg/350px-Light-wave.svg.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Light-wave.svg/525px-Light-wave.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Light-wave.svg/700px-Light-wave.svg.png 2x" style="background-color: white; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-image: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="640" /> 
<div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; font-size: 11px; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;">
<div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-image: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;">
<img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: white; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-image: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; vertical-align: middle;" width="15" /></div>
Gelombang elektromagnetik dapat digambarkan sebagai dua buah gelombang yang merambat secara transversal pada dua buah bidang tegak lurus yaitu medan magnetik dan medan listrik. Merambatnya gelombang magnet akan mendorong gelombang listrik, dan sebaliknya, saat merambat, gelombang listrik akan mendorong gelombang magnet. Diagram di atas menunjukkan gelombang cahaya yang merambat dari kiri ke kanan dengan medan listrik pada bidang vertikal dan medan magnet pada bidang horizontal.</div>
</div>
</div>
<div class="thumb tright" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;">
<div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-image: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; font-size: 12px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 352px;">
<img alt="" class="thumbimage" height="157" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Onde_electromagnetique.svg/350px-Onde_electromagnetique.svg.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Onde_electromagnetique.svg/525px-Onde_electromagnetique.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Onde_electromagnetique.svg/700px-Onde_electromagnetique.svg.png 2x" style="background-color: white; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-image: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="640" /> 
<div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-image: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; font-size: 11px; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;">
<div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-image: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;">
<img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.21wmf3/skins/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: white; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-image: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; vertical-align: middle;" width="15" /></div>
Gelombang elektromagnetik yang membentuk radiasi elektromagnetik.</div>
</div>
</div>
 
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
 </div>
 </div>

Cahaya adalah energi berbentuk gelombang elekromagnetik yang kasat mata dengan panjang gelombang sekitar 380–750 nm. [1] Pada bid...

Eselon-baris

<h4>
  </h4>
<h4>
Bentuk Eselon-baris</h4>
 
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut : 
<dl><dd> </dd><dd>1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).</dd><dd>2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.</dd><dd>3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.</dd><dd>4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi</dd></dl>
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & -8 & 8\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/e/5/2e5519634a256342be55e36652cb2396.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/9/e/69e056e13deaa06866e03d8e25f23ce0.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & 1 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/e/d/7ed3d6372b1c31848cef3fabebd6d785.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/4/18494b9e05746e4d6e2d09d5a9a6b87b.png" /> <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 6\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/b/a/9ba7afec2e537d84c48b54a50054d9d3.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h4>
 Operasi Eliminasi Gauss</h4>
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris.
 Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan 
linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan 
linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear 
<dl><dd><img alt="x + 2y + z = 6 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/e/10ea012ce78de2c737166b04bad4c411.png" /></dd><dd><img alt="x + 3y + 2z = 9 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/d/d/addae68375062e0bf3f0504f843d01c6.png" /></dd><dd><img alt="2x + y + 2z = 12 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/5/e/45e047672456f8e1c989dda4c80ccf6f.png" /></dd></dl>
Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/1/681e227a25bdbb4528200dd5f69dfe35.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Operasikan Matriks tersebut

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/1/681e227a25bdbb4528200dd5f69dfe35.png" /> B1 x 1 ,. Untuk merubah a11 menjadi 1

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/8/0/b80081855758fcb45d56efbfe52f6a35.png" /> B2 - 1.B1 ,. Untuk merubah a21 menjadi 0

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/d/2/fd237417cfee546e1f66348ee2f5b6d5.png" /> B3 - 2.B1 ,. Untuk merubah a31 menjadi 0

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/d/2/fd237417cfee546e1f66348ee2f5b6d5.png" /> B2 x 1 ,. Untuk merubah a22 menjadi 1

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 3 & 9\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/f/1/bf1fc480bdfb3778a0441d4f2f4f9cf4.png" /> B3 + 3.B2 ,. Untuk merubah a32 menjadi 0

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/2/8622764dcaedf507d967636a3e6eae4c.png" /> B3 x 1/3 ,. Untuk merubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu 
<dl><dd><img alt="x + 2y + z = 6" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/e/10ea012ce78de2c737166b04bad4c411.png" /></dd><dd><img alt="y + z = 3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/e/c/4ec95422628ba782397232e7faba856d.png" /></dd><dd><img alt="z = 3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/f/f/4ff87b04e2a1483fa004459f8a3ca745.png" /></dd></dl>
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: 
<dl><dd><img alt="y + z = 3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/e/c/4ec95422628ba782397232e7faba856d.png" /></dd><dd><img alt="y + 3 = 3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/c/10cdb982ab71a1e0c20aa8ef2ed8177a.png" /></dd><dd><img alt="y = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/a/b/fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png" /></dd></dl>
<dl><dd><img alt="x + 2y + z =6" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/e/10ea012ce78de2c737166b04bad4c411.png" /></dd><dd><img alt="x + 0 + 3 = 6" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/7/e/b7e1f130cd031fd03378c18d9337917e.png" /></dd><dd><img alt="x = 3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/8/7/5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png" /></dd></dl>
Jadi nilai dari <img alt="x = 3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/8/7/5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png" /> , <img alt="y = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/a/b/fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png" /> ,dan <img alt="z = 3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/f/f/4ff87b04e2a1483fa004459f8a3ca745.png" />

<h4>
 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan</h4>
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang 
hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris
 dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi.
 Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian 
persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah 
persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear 
<dl><dd><img alt="x + 2y + 3z = 3 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/6/e/96ee7948b6bc2663becdd69c865ff352.png" /></dd><dd><img alt="2x + 3y + 2z = 3 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/e/b/1eb3a66a19511d1447c482d7044db824.png" /></dd><dd><img alt="2x + y + 2z = 5 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/b/1/1b140956ff1f1cb92b935ef03f093b73.png" /></dd></dl>
Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
2 & 3 & 2 & 3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/f/d/dfdec6b0da2b26fa93ceb09b21110883.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Operasikan Matriks tersebut

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/5/5/355f5f185f2cf1371e441c6b4969108d.png" /> Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
0 & -3 & -4 & -1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/8/b/e8b3379dbd44bb0400e028856eaaa79d.png" /> Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
0 & 0 & 8 & 8\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/9/5/e95c632a2e5185de29385c4d6eafa9ae.png" /> Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 4 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/a/4/ca4b4fd729538ddda9792effa8059c76.png" /> Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/5/8/258a73469d2c9b266d841fb99926184e.png" /> Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/9/4/994f8162a5077dc3104cc2dbf048dfde.png" /> Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/7/2/f7210982afd3964199aba379368790a9.png" /> Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari <img alt="x = 2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/6/6/566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png" /> , <img alt="y = -1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/e/d/0ed775167e5c7887ef5b798190d3ed1b.png" /> ,dan <img alt="z = 1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/6/9360d2c79de73e141e391d96ae0770ba.png" />

<h3>
 Operasi Dalam Matriks</h3>
<hr />
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka 
penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A 
dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang 
mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k.
 Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara
 mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) =
 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks : 
<dl><dd>a.) A + B = B + A</dd><dd>b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C</dd><dd>c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar</dd></dl>
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

<h3>
 Matriks Balikan (Invers)</h3>
<hr />
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan <img alt="B = A^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/d/a/8daeb77586e783e1fc2ac7f2aa50e1cf.png" /> ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan <img alt="A = B^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/b/68bcf844df2fbf70917ae3f03118fbf8.png" />. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = <img alt="\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/7/b/17b7488b24e1c2b0d289e5de7c6d1b5f.png" /> dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan <img alt="(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/b/0/8b03dc420175e634e854071e09e2ea01.png" />

Contoh 1:

Matriks 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/0/a50d5609ce83acebbe0b7b1cd301c7a7.png" /> dan B = <img alt="\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/a/2/0a2d60336b4da98974688aa1d7c049e4.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>AB = <img alt="\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/0/a50d5609ce83acebbe0b7b1cd301c7a7.png" /><img alt="\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/a/2/0a2d60336b4da98974688aa1d7c049e4.png" /> = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/e/f/3ef0b8fd86c10806059c31b280caa7df.png" /> = I (matriks identitas)</dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>BA = <img alt="\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/a/2/0a2d60336b4da98974688aa1d7c049e4.png" /><img alt="\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/0/a50d5609ce83acebbe0b7b1cd301c7a7.png" /> = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/e/f/3ef0b8fd86c10806059c31b280caa7df.png" /> = I (matriks identitas)</dd></dl>
</dd></dl>
Maka dapat dituliskan bahwa <img alt="B = A^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/d/a/8daeb77586e783e1fc2ac7f2aa50e1cf.png" /> (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:

Matriks 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/7/0c759db281fcef097b7d8efe8bc2049a.png" /> dan B = <img alt="\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/4/0/c403d1a9302f9ff64dc407137c92e1ef.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>AB = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/7/0c759db281fcef097b7d8efe8bc2049a.png" /><img alt="\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/4/0/c403d1a9302f9ff64dc407137c92e1ef.png" /> = <img alt="\begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/8/0/080422b296a5babf8a7f715f93235e8e.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>BA = <img alt="\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/4/0/c403d1a9302f9ff64dc407137c92e1ef.png" /><img alt="\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/7/0c759db281fcef097b7d8efe8bc2049a.png" /> = <img alt="\begin{bmatrix}
17 & 21 \\
15 & 19 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/c/7/fc76e82e32b3c0f539cc6c3745d40f95.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:

Matriks 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/4/9d4a9fad20897d1650ec575a541dd37a.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Tentukan Nilai dari A-1

Jawab:

Contoh 4:

Matriks 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/2/e12694f640e1c4945ca267dae7d20431.png" />, B = <img alt="\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
2 & 2 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/b/0/1b076c4458fc1b75e0fd77dafd9a1312.png" />, AB = <img alt="\begin{bmatrix}
7 & 6 \\
9 & 8 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/4/8/94845aa8016ea2f515538671a748903c.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="A^{-1} = \begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/2/e12c8983682c8d3ca10f2e3a91b849ed.png" />, <img alt="B^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/2/6/e2654266f71d04da89602b9506a63589.png" />, <img alt="(AB)^{-1} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/8/e/d8ef53ae00a3fc50c0824caf722a930a.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Maka 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/5/9/659911a2cbbbcbdbe02f050d7607508b.png" /><img alt="\begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/b/1/7b11fb6b142467177eeef4493cc7abc3.png" /> = <img alt="\begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/a/0/fa00e8de0d6cb76bffbd6735719449d2.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Ini membuktikan bahwa <img alt="(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/b/0/8b03dc420175e634e854071e09e2ea01.png" />

<h3>
 Transpose Matriks</h3>
<hr />
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah 
mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom,
 dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

Matriks 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
2 & -5 & 1\\
-1 & 3 & 3\\
5 & 4 & 8\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/2/b/22b261bd65db806b8720497268b1233d.png" /> ditranspose menjadi AT = <img alt="\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5\\
-5 & 3 & 4\\
1 & 3 & 8\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/2/a/52af43b5a49a03d6b84beeaed287d33a.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
 
Matriks 
<dl><dd>
<dl><dd>B = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5 & 7\\
9 & 5 & 7 & 4\\
4 & 1 & 5 & 3\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/6/f/b6fc92bfbde309325d226ea244e49393.png" /> ditranspose menjadi BT = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 9 & 4\\
3 & 5 & 1\\
5 & 7 & 5\\
7 & 4 & 3\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/2/9/82992ea29d651adb972ea0d06f3d12b0.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
 
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut: 
<dl><dd>
<dl><dd>1. <img alt="((A)^T)^T = A" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/e/2/7e2fd82e2b87bd1d92d9ba1c15a9c9a0.png" /></dd><dd>2. <img alt="(A+B)^T = A^T + B^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/3/2/632c177f2255b8c0e10a1001ec6a2093.png" /> dan <img alt="(A-B)^T = A^T - B^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/d/a/8da243159070b0ad548ae7bcce924eca.png" /></dd><dd>3. <img alt="(kA)^T = kA^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/9/9/f997a514aaf8a4d3c574b118f60400b4.png" /> dimana k adalah skalar</dd><dd>4. <img alt="(AB)^T = B^T A^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/c/9/4c9b7abf53180fea375f60a527e95b7e.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h3>
 Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris</h3>
<hr />
<h5>
 Matriks Diagonal</h5>
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis 
diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol 
disebut dengan matriks diagonal. Contoh :

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Contoh :

A=<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/a/7/4a748a8a6d8ab16166f23717e92a2e8f.png" />

maka

<hr />
<h5>
 Matriks Segitiga</h5>
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas 
garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi 
yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah 
matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga

Matriks segitiga bawah

Teorema

<ul>
<li>Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, 
dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.</li>
<li>Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, 
dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.</li>
<li>Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.</li>
<li>Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, 
dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.</li>
</ul>
Contoh :

Matriks segitiga yang bisa di invers

A =<img alt="\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1\\
0 & 2 & 4\\
0 & 0 & 5\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/a/b/8ab4bb8cbb5d3776aeb76b93dfe24a53.png" />

Inversnya adalah

Matriks yang tidak bisa di invers

B =<img alt="\begin{bmatrix}
3 & -2 & 2\\
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/9/ff99c3496d0ce95048a3cac441e35f74.png" />

<hr />
<h5>
 Matriks Simetris</h5>
Matriks kotak A disebut simetris jika <img alt="A = A^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/7/f/87f947007b45903bd80a984e9c6a930c.png" />

Contoh matriks simetris

Teorema

<ul>
<li>Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka</li>
</ul>
<img alt="A^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/8/0/08000ecc7e9acb59614507322ef8e739.png" /> adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris <img alt="(AB)^T = B^T A^T = BA" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/1/181f3fa5802bc9645e85b06edfea9916.png" />

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka <img alt="A^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/f/2df6de2695ac81125ca6212fe6ce3999.png" /> adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa <img alt="A = A^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/7/f/87f947007b45903bd80a984e9c6a930c.png" /> maka :

Yang mana membuktikan bahwa <img alt="A^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/f/2df6de2695ac81125ca6212fe6ce3999.png" /> adalah simetris.

Produk <img alt="AA^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/2/b/b2ba55805253bd939f8cc4056f7d6006.png" /> dan <img alt="A^TA" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/8/a/48a3c3960bc74653de3fac26c7111474.png" />

Contoh

A adalah matriks 2 X 3

A = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/2/8/f286807c0d101e6c2c99e63887bc0f41.png" />

lalu

Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka <img alt="AA^T" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/2/b/b2ba55805253bd939f8cc4056f7d6006.png" /> dan <img alt="A^TA" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/8/a/48a3c3960bc74653de3fac26c7111474.png" /> juga bisa di inverse

<h2>
 Determinan</h2>
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix} 
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/7/b/17b7488b24e1c2b0d289e5de7c6d1b5f.png" /> tentukan determinan A</dd></dl>
</dd></dl>
untuk mencari determinan matrik A maka, 
<dl><dd>
<dl><dd>detA = ad - bc</dd></dl>
</dd></dl>
<h3>
 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor</h3>
<hr />
<h4>
 Determinan dengan Minor dan kofaktor</h4>
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
 a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/6/d/26d17e3f99924dd127db69a7ec767668.png" /> tentukan determinan A</dd></dl>
</dd></dl>
Pertama buat minor dari a11 
<dl><dd>
<dl><dd>M11 = <img alt="\begin{bmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/1/a/11ad2d71948fc4d036cac494a566ec94.png" /> = detM = a22a33 x a23a32</dd></dl>
</dd></dl>
Kemudian kofaktor dari a11 adalah 
<dl><dd>
<dl><dd>c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32</dd></dl>
</dd></dl>
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini 
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/0/68068065cbec83df06793fed2bf2a492.png" /></dd></dl>
Begitu juga dengan minor dari a32 
<dl><dd>
<dl><dd>M32 = <img alt="\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/9/0/790e553d2bff4e2361b3748f91d3de8c.png" /> = detM = a11a23 x a13a21</dd></dl>
</dd></dl>
Maka kofaktor dari a32 adalah 
<dl><dd>
<dl><dd>c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21</dd></dl>
</dd></dl>
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah 
<dl><dd>
<dl><dd>det(A) = a11C11+a12C12+a13C13</dd></dl>
</dd></dl>
<h4>
 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama</h4>
Misalkan ada sebuah matriks A3x3 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/6/d/26d17e3f99924dd127db69a7ec767668.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, 
<dl><dd>
<dl><dd>det(A) = a11<img alt="\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/1/a/11ad2d71948fc4d036cac494a566ec94.png" /> - a12<img alt="\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/7/5/f7591584643aa937d438a99c8a07c9f2.png" /> + a13<img alt="\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/a/a/1aae462414adfd8e3efa851d72ed1a0e.png" />
<dl><dd>
<dl><dd>= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)</dd><dd>= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32</dd></dl>
</dd></dl>
</dd></dl>
</dd></dl>
Contoh Soal: 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/7/1979d29598709f37dfbcff3ccf8e2c2e.png" /> tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama</dd></dl>
</dd></dl>
Jawab: 
<dl><dd>
<dl><dd>det(A) = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/7/1979d29598709f37dfbcff3ccf8e2c2e.png" /> = 1<img alt="\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/3/a/63a1e8b0b9079168cd2e7198841e023b.png" /> - 2<img alt="\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/c/4/ac4c939b319bba57a799c80514e3d499.png" /> + 3<img alt="\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/b/1/8b12b87a93439d91e200baeb06104105.png" /> = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8</dd></dl>
</dd></dl>
<h4>
 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama</h4>
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris 
seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu 
faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan 
komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, 
kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3x3 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/6/d/26d17e3f99924dd127db69a7ec767668.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, 
<dl><dd>
<dl><dd>det(A) = a11<img alt="\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/1/a/11ad2d71948fc4d036cac494a566ec94.png" /> - a21<img alt="\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/7/5/f7591584643aa937d438a99c8a07c9f2.png" /> + a31<img alt="\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/a/a/1aae462414adfd8e3efa851d72ed1a0e.png" />
<dl><dd>
<dl><dd>= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)</dd><dd>= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32</dd></dl>
</dd></dl>
</dd></dl>
</dd></dl>
Contoh Soal: 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/7/1979d29598709f37dfbcff3ccf8e2c2e.png" /> tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama</dd></dl>
</dd></dl>
Jawab: 
<dl><dd>
<dl><dd>det(A) = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/7/1979d29598709f37dfbcff3ccf8e2c2e.png" /> = 1<img alt="\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/3/a/63a1e8b0b9079168cd2e7198841e023b.png" /> - 4<img alt="\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/c/4/ac4c939b319bba57a799c80514e3d499.png" /> + 3<img alt="\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/b/1/8b12b87a93439d91e200baeb06104105.png" /> = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8</dd></dl>
</dd></dl>
<h4>
 Adjoin Matriks 3 x 3</h4>
Bila ada sebuah matriks A3x3 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/d/5/5d50ff19ba08bf1f04424fd567537600.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Kofaktor dari matriks A adalah 
<dl><dd>
<dl><dd>C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8</dd><dd>C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8</dd><dd>C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8</dd></dl>
</dd></dl>
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix} -12&6&-8\\ -4&2&-8\\ 12&-10&8\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/6/3/76328ae04856b7c5e67b791a3004aa4a.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom 
<dl><dd>
<dl><dd>adj(A) = <img alt="\begin{bmatrix} -12&-4&12\\ 6&2&-10\\ -8&-8&8\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/3/2/e3253b336f44facac4c3194ad60dd8dc.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h4>
 Determinan Matriks Segitiga Atas</h4>
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka <img alt="det(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/e/a/6eae4f5b1077e4def12e6d7899c8f203.png" /> adalah hasil kali diagonal matriks tersebut 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/b/7/3b7245227b4957584f4258bc6d11427a.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
Contoh 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/5/e/75e5511b0c23db83efebd2d2cf5993d1.png" /> = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296</dd></dl>
</dd></dl>
<h4>
 Metode Cramer</h4>
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

<center>
<img alt="X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/b/66ba74929f561de76a555087cd3fe17b.png" /></center>
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini 
<dl><dd>
<dl><dd>x1 + 2x3 = 6</dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30</dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd>-x1 - 2x2 + 3x3 = 8</dd></dl>
</dd></dl>
Jawab:

bentuk matrik A dan b 
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
-3 & 4 & 6\\
-1 & -2 & 3\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/e/d1ef6ae6b980a2e2a266b513670ec2ab.png" /> b = <img alt="\begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/c/0/3c0f82e4449f5d83a8725816ef29bda1.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
kemudian ganti kolom j dengan matrik b 
<dl><dd>
<dl><dd>A1 = <img alt="\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/f/d/3fda2904af0de2ca72671d9fa7d2ed19.png" /> A2 = <img alt="\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/1/f/11ff07d717284fb3097bbae06a96a916.png" /> A3 = <img alt="\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/2/a/d2ad5bbb20ef355982eafa2e3123897d.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka, 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt=" x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/9/8494917af28442a71ea2b67d8b1d73a8.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt=" x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/6/c962c75f9b03fe8fc0bc22c803c18209.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<dl><dd>
<dl><dd><img alt=" x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/5/9/7598ad8b31501010df339e24a6e0d5df.png" /></dd></dl>
</dd></dl>

<center>
R=Er...E2 E1 A</center>
dan,

<center>
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)</center>
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

<center>
A=<img alt="\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3\\
 1 & 0 & 1\\
 2 & 4 & 6\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/f/0/2f05db5cbe295fa7215acf92fdb39023.png" /></center>
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

<h3>
 Mencari determinan dengan cara Sarrus</h3>
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix} 
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i\\ 
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/c/a/7caf176aef18a1b6b796193f2ad3a128.png" /> tentukan determinan A</dd></dl>
</dd></dl>
untuk mencari determinan matrik A maka, 
<dl><dd>
<dl><dd>detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)</dd></dl>
</dd></dl>
<h3>
 Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3</h3>
<h3>
 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3</h3>
<dl><dd>
<dl><dd>A = <img alt="\begin{bmatrix}
 3 & 2 & -1\\
 1 & 6 & 3\\
 2 & -4 & 0\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/b/b/cbb925b8e908c202486a6b5cc0ccf55b.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
kemudian hitung kofaktor dari matrix A 
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16

C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

menjadi matrix kofaktor 
<dl><dd>
<dl><dd><img alt="\begin{bmatrix}
 12 & 6 & -16\\
 4 & 2 & 16\\
 12 & -10 & 16\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/5/7/f57623689b4c830866187736ea4dfb24.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi 
<dl><dd>
<dl><dd>adj(A) = <img alt="\begin{bmatrix}
 12 & 4 & 12\\
 6 & 2 & -10\\
-16 & 16 & 16\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/d/7/bd780f520db7f98c192f229c8582fb49.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
<img alt="A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/4/2/642bb0873c6a109b48f22054091f2d72.png" />

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

<h3>
 Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx</h3>
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

<pre> Ax = λx ; dimana λ adalah skalar
</pre>
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi

<pre> (λI - A) x = 0

</pre>
contoh:

diketahui persamaan linear

<pre> x1 + 3x2 = λx1
 4x1 + 2x2 = λx2
</pre>
dapat ditulis dalam bentuk

<pre> <img alt="\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/4/0d4428c2c497af05f2664fc9af238a24.png" /> <img alt="\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/1/2d1de18734ae3c89b8b1912cae6fe281.png" /> = λ <img alt="\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/1/2d1de18734ae3c89b8b1912cae6fe281.png" />
</pre>
yang kemudian dapat diubah 
<dl><dd>
<dl><dd>A =<img alt="\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/4/0d4428c2c497af05f2664fc9af238a24.png" />dan x =<img alt="\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/1/2d1de18734ae3c89b8b1912cae6fe281.png" /></dd></dl>
</dd></dl>
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

<pre> λ <img alt="\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/b/1/cb1a9a8f27965f12d76226fa0f5ef8a5.png" />
</pre>
<pre> λ <img alt="\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/8/7/c87823a78ba675053a2a86fb327a2325.png" />
</pre>
<pre> <img alt="\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/6/f665ac77263fd1dd11f8a57e92a163cb.png" />
</pre>
sehingga didapat bentuk

<pre> λ I - A = <img alt="\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/6/1069fde7e05a3d75024ea26f824eebaa.png" />
</pre>
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

<pre> det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A
</pre>
dan dari contoh diperoleh

<pre> det (λ I - A) = <img alt="\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/6/1069fde7e05a3d75024ea26f824eebaa.png" /> = 0
</pre>
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

<pre> <img alt="\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/0/9/309859f9be8c301638bf3102e4ba9207.png" />
</pre>
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t

<pre> x = <img alt="\begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/5/665a3246ab34b49cec61ead90fb976d8.png" />
</pre>
<h2>
 Vektor dalam Ruang Euklide</h2>
<h3>
 Euklidian dalam n-Ruang</h3>
<hr />
Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer 
positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah 
grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel
 atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari 
satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan 
real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an)
 bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- 
perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita 
bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau 
vector pada R5.

<center>
u1 = v1 u2 = v2 un = vn</center>
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

<center>
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ...., un + vn)</center>
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

<center>
ku = (k u1, k u2,...,k un)</center>
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini 
disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0
 dan difenisikan ke vektor

<center>
0 = (0, 0,...., 0)</center>
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka 
negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan 
oleh

<center>
-u = (-u1, -u2, ...., -un)</center>
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

<center>
v – u = v + (-u)</center>
atau, dalam istilah komponen,

<center>
v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)</center>
Sifat-sifat dari vektor dalam <img alt="R^n" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/8/8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png" />

jika <img alt="\mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/2/9/629f40be3cda827797b55e3a64e55b96.png" /> , <img alt="\mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/b/3/8b35ec69134df5a3cab643a2ec92bec0.png" /> , dan <img alt="\mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/7/7/67708f1ae49c6ed6ea9cc10b9971ad64.png" /> adalah vektor dalam <img alt="R^n" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/8/8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png" /> sedangkan k dan m adalah skalar, maka :

(a) u + v = v + u

(b) u + 0 = 0 + u = u

(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0

(e) k (m u) = (k m) u

(f) k (u + v) = k u + k v

(g) (k + m) u = k u + m u

(h) 1u = u

Perkalian dot product <img alt="\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/4/5/f45e4156c8cf1bb6e6ecf4987a240c9b.png" /> didefinisikan sebagai

<center>
<img alt="\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/d/9ad7ed637d881c1a9a054df45725d3d9.png" /></center>
<h3>
 Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi</h3>
<ul>
<li>Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n 
pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap 
experiment bisa disebut sebagai vector <img alt="y= (y1,y2,...,yn)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/5/1/b51cafb3ff2ea1707f311fff341a6bb5.png" /> dalam <img alt="R^n" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/8/8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png" /> dalam setiap <img alt="y_1,y_2,....,y_n" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/0/a/e0a26104051dd78176ec1f3e95f38cdd.png" /> adalah nilai yang terukur.</li>
<li>Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi 
mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap 
poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 
15-topel <img alt="x= (x_1,x_2,...,x_15)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/1/5/a15ca027dc2d18e55df5297e82797bb8.png" /> dalam setiap <img alt="x_1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/9/a/f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png" /> adalah jumlah truk dalam depot pertama dan <img alt="x_2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/f/4/8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png" /> adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.</li>
<li>Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 
tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa 
ditulis sebagai vector dalam <img alt="R^4" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/e/2/de2c632ca62317de52282ec8d83efb67.png" /> dan tegangan output bisa ditulis sebagai<img alt=" R^3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/3/4/c341f8200d7d3f2298e398f2603be5e0.png" />. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input <img alt="v = (v_1,v_2,v_3,v_4)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/0/9202102b65c922e2c9c5af089c3041fe.png" /> dalam <img alt="R^4" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/e/2/de2c632ca62317de52282ec8d83efb67.png" /> ke vector keluaran <img alt="w = (w_1,w_2,w_3)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/2/e/12eeb2ca114cc72f46dfc0528d592449.png" /> dalam<img alt=" R^3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/3/4/c341f8200d7d3f2298e398f2603be5e0.png" />.</li>
<li>Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh 
layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap 
[pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang 
menjelaskan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hue&action=edit&redlink=1" title="Hue (halaman belum tersedia)">hue</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Saturasi&action=edit&redlink=1" title="Saturasi (halaman belum tersedia)">saturasi</a>, dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kecerahan&action=edit&redlink=1" title="Kecerahan (halaman belum tersedia)">kecerahan</a> dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk <img alt="v = (x,y,h,s,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/9/10945c850c7d9208818847694bf0c374.png" /> dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.</li>
<li>Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk
 membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan 
seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai 
mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua 
ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel <img alt="s = (s_1,s_2,s_3,...,s_10)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/c/5/1c5dd79499a226d42aa2606202f3619f.png" /> dalam setiap angka <img alt="s_1,s_2,...,s_10" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/e/19ee876c27a0afd4922d6fd4d9cee97c.png" /> adalah output dari sektor individual.</li>
<li>Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah<img alt=" x_1,x_2,...,x_6" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/2/d/82dec1d780d9960d3e3167ef493a1df8.png" /> dan kecepatan mereka adalah <img alt="v_1,v_2,...,v_6" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/8/7/187366ed3475551f9bcc78105d98b9af.png" />. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector</li>
</ul>
<img alt="V = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/e/9/ce9154fff7cc584b556de1c97b867e6e.png" /> Dalam <img alt="R^13" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/a/3/6a3f440cf724d1d463e5fd16666d918c.png" />. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

<ul>
<li>Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak 
bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku 
seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Einstein" title="Einstein">Einstein</a> adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi</li>
</ul>
<h3>
 Menemukan norm dan jarak</h3>
<hr />
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang <img alt="R^n" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/8/8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png" />

jika u = <img alt="(u_1,u_2,u_3,...,u_n)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/f/7/af74343a64ed897915ddc5d5cf95d3b8.png" />

Maka Panjang vektor u

<center>
<img alt="|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/5/4/9540cb611058ae9b38a92a744b7e2f57.png" /></center>
 
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

<center>
<img alt="d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/3/3/0331765e22cc899aafea1ab239ec8a62.png" /></center>
<h3>
 Bentuk Newton</h3>
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).

Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0

bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0

dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi

p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x0)=b0

p(x1)=b1h1+b0

p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0

p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0

sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

<h3>
 Operator Refleksi</h3>
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = -x = -x + 0y

x2 = y = 0x + y

atau dalam bentuk matrik : <img alt="\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/1/8/b18c22ff3d9c234471df5adadc13064d.png" />

Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang 
memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis 
atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat 
linier.

<h3>
 Operator Proyeksi</h3>
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = x = x + 0y

x2 = 0 = 0x + 0y

atau dalam bentuk matrik : <img alt="\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/f/6/cf6fb42d627d8c99917e63cb45f06338.png" />

Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: <img alt="\begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/3/8/e38fc71cdbc78a213d31a56b62c91177.png" />

Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

<h3>
 Operator Rotasi</h3>
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R2.
 Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi 
yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang 
tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r sin (ɵ + ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ

w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w1 = x cos Θ - y sin Θ

w2 = x sin Θ + y cos Θ

Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan 
operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah: <img alt="\begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta\\ sin\Theta & cos\Theta\\ \end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/f/4/0f4e6edd621aa60ed25a72579b3dc163.png" />

<h3>
 Interpolasi Polinomial</h3>
<hr />
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = am<img alt="x^m" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/d/c/cdca39ae583ac9b68bd5d23330cf19a8.png" /> + am-1<img alt="x^{m-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/1/b/91b8ebb8872b4e6b41d37dc68171bc14.png" /> + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi

karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^n\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/c/8/7c86779af00a333ed8935422b61d746e.png" /><img alt="\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
\vdots\\
a_{n-1}\\
a_n\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/a/7/ea7b1f966be7d6b9ba4ab695d4475869.png" /> = <img alt="\begin{bmatrix}
y_0\\
y_1\\
\vdots\\
y_{n-1}\\
y_n\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/3/9d3f3dc28ccee65d8a5cd8e632d7b6fb.png" /> (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal:

Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.

Jawab:

Bentuk Sistem Vandermonde(1):

Untuk data di atas, kita mempunyai

Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & 3 & 9 & 6\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/d/d/1ddf642b40da066d55ec7cde4b9e6680.png" /> Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/2/b/32b0144a910089b8f457ab8183491488.png" /> Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/0/1/a01a7d2d00384ae10e3445c5952a212c.png" /> Baris ke-3 dikurangi baris ke-2

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 2 & 2\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/d/d/3dd2ceb4b673c4af209ad7ded88b00f1.png" /> Baris ke-4 dikurangi baris ke-2

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/0/1004a890b75d0ac1f9fc1e0b584bb956.png" /> Baris ke-4 dibagi dengan 2

<img alt="\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/b/9/1b95d816f27151eebaae549694b899ce.png" /> Baris ke-4 dikurangi baris ke-3

Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas

Jadi, interpolasinya adalah <img alt="p(x) = x^3 - x\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/8/5/085ae9f7b64f8730915407762f372223.png" />'

Bentuk Eselon-baris Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut : 1.) Di setiap baris, angka perta...