garis sejajar


Garis adalah kumpulan dari titik-titik. Ujung dari sebuah garis adalah titik. Tentunya, kita sudah mengetahui apa itu garis. Karena sejak SD, bahkan sejak TK kita sudah diajari menulis atau menggambar sebuah garis.
Pembicaraan kita kali ini hanya pada Garis Lurus. Jadi, garis yang kita bicarakan bukan yang belok. Bukan garis lengkung atau yang lain. Istilah yang sangat popular dalam garis adalah vertikal, horizontal.
Garis vertical kita artikan sebagai garis yang berdiri. Dan garis horizontal adalah garis yang tidur. Itu yang mungkin kita pelajari ketika SD dulu.
Ujung sebuah garis adalah titik. Ini perlu diingat.

Kemiringan suatu garis atau gradient ini adalah besarnya sudut yang dibentuk dari suatu garis tersebut terhadap garis horizontal. Besarnya kemiringan dimulai dari negative tak hingga dan sampai menuju tak terhingga. Setiap garis lurus pasti mempunyai kemiringan.

Perhatikan gambar di bawah ini!


Sejajar

Dua garis dengan kemiringan yang sama dan tidak seletak disebut garis-garis yang sejajar.
Garis m dan garis n mempunyai kemiringan yang sama. Jika garis m terus diperpanjang. Dan garis n juga terus diperpanjang.
Maka, sampai sepanjang apapun, kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan. Jika dua garis mempunyai kemiringan yang sama, maka kedua garis tersebut tidak mungkin akan bertemu. Ini adalah hal penting yang harus diingat.


Tidak sejajar

Sedangkan, dua buah garis yang mempunyai kemiringan berbeda. Maka kedua garis tersebut disebut garis yang tidak sejajar. Jika dua garis tidak sejajar, maka akan ada perpotongan diantara dua garis tersebut.
Dua garis yang memiliki kemiringan berbeda, maka pasti suatu saat nanti dua garis tersebut akan bertemu dan berpotongan tepat hanya di satu titik.
Perpotongannya hanya di satu titik. Misalnya gambar di atas. Garis k dan garis l. kedua garis tersebut memiliki kemiringan yang berbeda. Sehingga nanti jika diperpanjang terus, pasti kedua garis tersebut akan bertemu.
Perhatikan saja garis k dan garis l. kedua garis tersebut bertemu hanya di satu titik. Titik potongnya hanya ada satu yaitu titik S.


Tegak Lurus

Dua garis dikatakan tegak lurus jika kemiringan garis pertama dikalikan kemiringan garis kedua hasilnya adalah negative satu.
Garis p dan garis q adalah garis yang tegak lurus. Garis yang tegak lurus akan membentuk sudut 90 derajat (sudut siku-siku). Garis vertical dan garis horizontal yang saling berpotongan adalah dua garis yang saling tegak lurus.
Istilah tegak lurus ini nantinya akan sangat penting. Dan akan benyak digunakan pada garis singgung. Misalnya garis singgung lingkaran atau yang lainnya. Yang paling sangat berhubungan dengan tegak lurus ini adalah siku-siku. Siku-siku adalah sebuah besar sudut yang besarnya 90 derajat.
Ini akan sering digunakan pada trigonometri, segitiga siku-siku. Persegi dan persegi panjang, dan lain-lain.
Tegak lurus antara dua buah garis, pada sebuah persamaan garis dikatakan bahwa dua garis saling tegak lurus jika m_1 (kemiringan garis pertama) dikalikan m_2 (kemiringan garis kedua) hasilnya adalah negative satu. Jika dituliskan dalam bentuk matematika,

m_1 \times m_2 = -1

dengan m adalah kemiringan suatu garis.

Rumus ini akan sering digunakan pada suatu garis pada persamaan didalam koordinat cartecius. Untuk menentukan dua buah garis yang tegak lurus pada dua buah persamaan garis, rumus ini yang akan digunakan.

persamaan linier


Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.

[sunting]Bentuk Umum

Ax + By + C = 0,\,
dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.

[sunting]Bentuk standar

ax + by = c,\,
di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.

[sunting]Bentuk titik potong gradien

[sunting]Sumbu-y

y = mx + b,\,
dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.

[sunting]Sumbu-x

x = \frac{y}{m} + c,\,
dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.
ء-

[sunting]Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.
di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a1 adalah koefisien untuk variabel pertama, x1, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.

fisika(cahaya)


Cahaya adalah energi berbentuk gelombang elekromagnetik yang kasat mata dengan panjang gelombang sekitar 380–750 nm.[1] Pada bidang fisika, cahaya adalah radiasi elektromagnetik, baik dengan panjang gelombang kasat mata maupun yang tidak. [2][3] Selain itu, cahaya adalah paket partikel yang disebut foton. Kedua definisi tersebut merupakan sifat yang ditunjukkan cahaya secara bersamaan sehingga disebut "dualisme gelombang-partikel". Paket cahaya yang disebut spektrum kemudian dipersepsikan secara visual oleh indera penglihatan sebagai warna. Bidang studi cahaya dikenal dengan sebutan optika, merupakan area riset yang penting pada fisika modern.

Studi mengenai cahaya dimulai dengan munculnya era optika klasik yang mempelajari besaran optik seperti: intensitas,frekuensi atau panjang gelombangpolarisasi dan fase cahaya. Sifat-sifat cahaya dan interaksinya terhadap sekitar dilakukan dengan pendekatan paraksial geometris seperti refleksi dan refraksi, dan pendekatan sifat optik fisisnya yaitu: interferensi,difraksidispersipolarisasi. Masing-masing studi optika klasik ini disebut dengan optika geometris (en:geometrical optics) danoptika fisis (en:physical optics).

Pada puncak optika klasik, cahaya didefinisikan sebagai gelombang elektromagnetik dan memicu serangkaian penemuan dan pemikiran, sejak tahun 1838 oleh Michael Faraday dengan penemuan sinar katode, tahun 1859 dengan teori radiasi massa hitam oleh Gustav Kirchhoff, tahun 1877 Ludwig Boltzmann mengatakan bahwa status energi sistem fisik dapat menjadi diskrit,teori kuantum sebagai model dari teori radiasi massa hitam oleh Max Planck pada tahun 1899 dengan hipotesa bahwa energiyang teradiasi dan terserap dapat terbagi menjadi jumlahan diskrit yang disebut elemen energiE.
Pada tahun 1905, Albert Einstein membuat percobaan efek fotoelektrik, cahaya yang menyinari atom mengeksitasi elektronuntuk melejit keluar dari orbitnya. Pada pada tahun 1924 percobaan oleh Louis de Broglie menunjukkan elektron mempunyai sifat dualitas partikel-gelombang, hingga tercetus teori dualitas partikel-gelombang.

Albert Einstein kemudian pada tahun 1926 membuat postulat berdasarkan efek fotolistrik, bahwa cahaya tersusun dari kuantayang disebut foton yang mempunyai sifat dualitas yang sama. Karya Albert Einstein dan Max Planck mendapatkan penghargaan Nobel masing-masing pada tahun 1921 dan 1918 dan menjadi dasar teori kuantum mekanik yang dikembangkan oleh banyak ilmuwan, termasuk Werner HeisenbergNiels BohrErwin SchrödingerMax BornJohn von NeumannPaul DiracWolfgang PauliDavid HilbertRoy J. Glauber dan lain-lain.

Era ini kemudian disebut era optika modern dan cahaya didefinisikan sebagai dualisme gelombang transversal elektromagnetik dan aliran partikel yang disebut foton. Pengembangan lebih lanjut terjadi pada tahun 1953 dengan ditemukannya sinar maser, dan sinar laser pada tahun 1960. Era optika modern tidak serta merta mengakhiri era optika klasik, tetapi memperkenalkan sifat-sifat cahaya yang lain


Gelombang elektromagnetik dapat digambarkan sebagai dua buah gelombang yang merambat secara transversal pada dua buah bidang tegak lurus yaitu medan magnetik dan medan listrik. Merambatnya gelombang magnet akan mendorong gelombang listrik, dan sebaliknya, saat merambat, gelombang listrik akan mendorong gelombang magnet. Diagram di atas menunjukkan gelombang cahaya yang merambat dari kiri ke kanan dengan medan listrik pada bidang vertikal dan medan magnet pada bidang horizontal.
Gelombang elektromagnetik yang membentuk radiasi elektromagnetik.



Eselon-baris

 

Bentuk Eselon-baris


Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
 
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & -8 & 8\\
\end{bmatrix}
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & 1 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 6\\
\end{bmatrix}

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z  = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix} B1 x 1 ,. Untuk merubah a11 menjadi 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix} B2 - 1.B1 ,. Untuk merubah a21 menjadi 0
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} B3 - 2.B1 ,. Untuk merubah a31 menjadi 0
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} B2 x 1 ,. Untuk merubah a22 menjadi 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 3 & 9\\
\end{bmatrix} B3 + 3.B2 ,. Untuk merubah a32 menjadi 0
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3\\
\end{bmatrix} B3 x 1/3 ,. Untuk merubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z      = 3
z          = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z =6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
2 & 3 & 2 & 3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
0 & -3 & -4 & -1\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
0 & 0 & 8 & 8\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 4 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = -1 ,dan z = 1

Operasi Dalam Matriks


Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

Matriks Balikan (Invers)


JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A^{-1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B^{-1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\
-\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\
\end{bmatrix}
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Contoh 1:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A^{-1} (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
17 & 21 \\
15 & 19 \\
\end{bmatrix}
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2 \\
\end{bmatrix}
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix}

Contoh 4:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3 \\
\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}
3 & 2 \\
2 & 2 \\
\end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix}
7 & 6 \\
9 & 8 \\
\end{bmatrix}
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}
Maka
B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}
Ini membuktikan bahwa (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Transpose Matriks


Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
2 & -5 & 1\\
-1 & 3 & 3\\
5 & 4 & 8\\
\end{bmatrix} ditranspose menjadi AT = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 5\\
-5 & 3 & 4\\
1 & 3 & 8\\
\end{bmatrix}

Matriks
B = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 5 & 7\\
9 & 5 & 7 & 4\\
4 & 1 & 5 & 3\\
\end{bmatrix} ditranspose menjadi BT = \begin{bmatrix}
1 & 9 & 4\\
3 & 5 & 1\\
5 & 7 & 5\\
7 & 4 & 3\\
\end{bmatrix}

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)^T)^T = A
2. (A+B)^T = A^T + B^T dan (A-B)^T = A^T - B^T
3. (kA)^T = kA^T dimana k adalah skalar
4. (AB)^T = B^T A^T

Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris


Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -5\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -5 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_n\\
\end{bmatrix}

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D^{-1}=\begin{bmatrix}
1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\
\end{bmatrix}
DD^{-1}=D^{-1}D=I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
D^{k}=\begin{bmatrix}
d_1^k & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_2^k & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_n^k\\
\end{bmatrix}
Contoh :
A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{bmatrix}
maka
A^5=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -243 & 0\\
0 & 0 & 32\\
\end{bmatrix}

Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\
0 & 0 & 0 & a_{44}\\
\end{bmatrix}
Matriks segitiga bawah
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0\\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{bmatrix}
Teorema
  • Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
  • Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
  • Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
  • Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1\\
0 & 2 & 4\\
0 & 0 & 5\\
\end{bmatrix}
Inversnya adalah
A^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & -3/2 & 7/5\\
0 & 1/2 & -2/5\\
0 & 0 & 1/5\\
\end{bmatrix}
Matriks yang tidak bisa di invers
B =\begin{bmatrix}
3 & -2 & 2\\
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}

Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika A = A^T
Contoh matriks simetris
\begin{bmatrix}
7 & -3 \\
-3 & 5 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
4 & -3 & 0\\
5 & 0 & 7\\
\end{bmatrix}
Teorema
  • Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
A^T adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)^T = B^T A^T = BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A^{-1} adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = A^T maka :
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}
Yang mana membuktikan bahwa A^{-1} adalah simetris.

Produk AA^T dan A^TA
 (AA^T)^T =  (A^T)^TA^T = AA^T dan (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}
lalu
 A^TA = \begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
10 & -2 & 11\\
-2 & 4 & -8\\
-11 & -8 & 41\\
\end{bmatrix}

AA^T = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
21 & -17 \\
-17 & 34\\
\end{bmatrix}
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AA^T dan A^TA juga bisa di inverse

Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = \begin{bmatrix}     
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor


Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
 a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = \begin{bmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
\begin{bmatrix}
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\
\end{bmatrix}
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}\\
\end{bmatrix} = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8
C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
\begin{bmatrix} -12&6&-8\\ -4&2&-8\\ 12&-10&8\\ \end{bmatrix}
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) = \begin{bmatrix} -12&-4&12\\ 6&2&-10\\ -8&-8&8\\ \end{bmatrix}

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
Contoh
\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix} = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
X_{1} =  \frac{det(A_{1})} {det(A)},  X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... ,  X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
-3 & 4 & 6\\
-1 & -2 & 3\\
\end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} A2 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix} A3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
 x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}
 x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}
 x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}

R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=\begin{bmatrix}
 1 &  2 &  3\\
 1 &  0 &  1\\
 2 &  4 &  6\\
\end{bmatrix}
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

Mencari determinan dengan cara Sarrus

A = \begin{bmatrix}     
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i\\ 
\end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A = \begin{bmatrix}
 3 &  2 & -1\\
 1 &  6 &  3\\
 2 & -4 &  0\\
\end{bmatrix}
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
\begin{bmatrix}
 12 &  6  & -16\\
 4  &  2  &  16\\
 12 & -10 &  16\\
\end{bmatrix}
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adj(A) = \begin{bmatrix}
 12 &  4 &  12\\
  6 &  2 & -10\\
-16 & 16 &  16\\
\end{bmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
\mathit{det(A) = 64}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix}
 12 &  4 &  12\\
  6 &  2 & -10\\
-16 & 16 &  16\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 \frac{12}{64} & \frac{4}{64}  &  \frac{12}{64}\\
 \frac{6}{64}  & \frac{2}{64}  & -\frac{10}{64}\\
-\frac{16}{64} & \frac{16}{64} &  \frac{16}{64}\\
\end{bmatrix}

Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
      Ax = λx    ; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi
      (λI - A) x = 0

contoh:
diketahui persamaan linear
      x1 + 3x2 = λx1
     4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis dalam bentuk
     \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat diubah
A =\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}dan x =\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
     λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
     λ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
sehingga didapat bentuk
     λ I - A = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
     detI - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
     detI - A) = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} = 0
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
      \begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
      x = \begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix}

Vektor dalam Ruang Euklide

Euklidian dalam n-Ruang


Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam R^n
jika \mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n} , \mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n} , dan \mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n} adalah vektor dalam R^n sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u

Perkalian dot product \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} didefinisikan sebagai

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}

Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

  • Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y= (y1,y2,...,yn) dalam R^n dalam setiap y_1,y_2,....,y_n adalah nilai yang terukur.
  • Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x= (x_1,x_2,...,x_15) dalam setiap x_1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x_2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
  • Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R^4 dan tegangan output bisa ditulis sebagai R^3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v_1,v_2,v_3,v_4) dalam R^4 ke vector keluaran w = (w_1,w_2,w_3) dalam R^3.
  • Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
  • Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s_1,s_2,s_3,...,s_10) dalam setiap angka s_1,s_2,...,s_10 adalah output dari sektor individual.
  • Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah x_1,x_2,...,x_6 dan kecepatan mereka adalah v_1,v_2,...,v_6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t) Dalam R^13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
  • Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

Menemukan norm dan jarak


Menghitung Panjang vektor u dalam ruang R^n
jika u = (u_1,u_2,u_3,...,u_n)

Maka Panjang vektor u

|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2}

dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2}

Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + 0y
atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin Θ
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta\\ sin\Theta & cos\Theta\\ \end{bmatrix}

Interpolasi Polinomial


Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amx^m + am-1x^{m-1} + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi

\begin{matrix}
{y_0}& = &a_mx_0^m &+& a_{m-1}x_0^{m-1} &+...+& a_1x_0 &+& a_0\\
{y_1}& = &a_mx_1^m &+& a_{m-1}x_1^{m-1} &+...+& a_1x_1 &+& a_0\\
\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots\\
{y_n}& = &a_mx_n^m &+& a_{m-1}x_n^{m-1} &+...+& a_1x_n &+& a_0\\
\end{matrix}

karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^m\\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^m\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^m\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
\vdots\\
a_{m-1}\\
a_m\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
y_0\\
y_1\\
\vdots\\
y_{n-1}\\
y_n\\
\end{bmatrix}

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):

\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^n\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
\vdots\\
a_{n-1}\\
a_n\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
y_0\\
y_1\\
\vdots\\
y_{n-1}\\
y_n\\
\end{bmatrix} (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & x_0^3\\
1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3\\
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3\\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
y_0\\
y_1\\
y_2\\
y_3\\
\end{bmatrix}

Untuk data di atas, kita mempunyai

\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 4 & 8\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
6\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1 & 0\\
1 & 2 & 4 & 8 & 6\\
\end{bmatrix}

Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & 3 & 9 & 6\\
\end{bmatrix} Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama

\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\
\end{bmatrix} Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3

\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\
\end{bmatrix} Baris ke-3 dikurangi baris ke-2

\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 2 & 2\\
\end{bmatrix} Baris ke-4 dikurangi baris ke-2

\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke-4 dibagi dengan 2

\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
\begin{matrix}
a_0&+&a_1&+&a_2&+&a_3 &=&0\Longleftrightarrow a_0 = 0\\
& &a_1&-&a_2&+&a_3&=&0\Longleftrightarrow a_1 = -1\\
& & & &a_2& & &=&0\\
& & & & & &a_3&=&1\\
\end{matrix}
Jadi, interpolasinya adalah p(x) = x^3 - x\,'