pemfaktoran dengan sifat distributif (aljabar)

1. Pemfaktoran dengan Sifat Distributif

Di Sekolah Dasar, kamu tentu telah mempelajari cara memfaktorkan suatu bilangan. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay. Untuk itu, pelajarilah Contoh Soal berikut.

Contoh Soal :

Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 5ab + 10b           c. –15p2q2 + 10pq
b. 2x – 8x2y            d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3

Jawab:

a. 5ab + 10b
Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan
10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.
Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b.
Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a + 2).

b. 2x – 8x2y
Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah x.
Jadi, 2x – 8x2y = 2x(1 – 4xy).

c. –15p2q2 + 10pq
Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p2q2 dan pq adalah pq.
Jadi, –15p2q2 + 10pq = 5pq (–3pq + 2).

d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3
Faktor persekutuan dari 1/2 dan 1/4 adalah 1/4.
Faktor persekutuan dari a3b2 adalah a2b3 adalah a2b2.
Jadi, 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 = 1/4 a2b2 (2a +b)

2. Selisih Dua Kuadrat

Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat ditulis
  (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2
                         = a2 – b2
Jadi, bentuk a2 – b2 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).

Bentuk a2 – b2 disebut selisih dua kuadrat
Contoh Soal :

Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. p2 – 4               c. 16 m2 – 9n2
b. 25x2 – y2          d. 20p2 – 5q2

Jawab:

a. p2 – 4 = (p + 2)(p – 2)
b. 25x2 – y2 = (5x + y)(5x – y)
c. 16m2 – 9n2 = (4m + 3n)(4m – 3n)
d. 20p2 – 5q2 = 5(4p2 – q2) = 5(2p + q)(2p – q)

3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

a. Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + qx + px + pq
                       = x2 + (p + q)x + pq
Jadi, bentuk x2 + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x2 + (p + q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq.

Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.
   a. x2 + 5x + 6         b. x2 + 2x – 8

Jawab:

a. x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)
    Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.
    Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6
    dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5.
    Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan
    Jadi, x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
b. x2 + 2x – 8 = (x + …) (x + …)
    Dengan cara seperti pada (a), diperoleh a = 1, b = 2, dan c = –8.
    Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu dari
    dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian, dua
    bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan
    –2 + 4 = 2.
    Jadi, x2 + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4)
b. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Sebelumnya, kamu telah memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1.

Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + 3) (2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3
                         = 2x2 + 7x + 3
Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.
2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (x + 6 x) +3                (uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu pilih ( x + 6x )
                     = (2x2 + x) + (6x + 3)
                     = x(2x + 1) + 3(2x + 1)           (Faktorkan menggunakan sifat distributif)
                    = (x + 3)(2x+1)
Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.

  1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c).
  2. Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif
Contoh Soal :
Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
      a. 2x2 + 11x + 12                     b. 6x2 + 16x + 18
Jawab:
a. 2x2 + 11x + 12 = 2x2 + 3x + 8x + 12
                              = (2x2 + 3x) + (8x + 12)
                              = x(2x + 3) + 4(2x + 3)
                              = (x + 4)(2x + 3)
     Jadi, 2x2 + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3).
b. 6x2 + 16x + 8 = 6x2 + 4x + 12x + 8
                           = (6x2 + 4x) + (12x + 8)
                           = 2x(3x + 2) + 4(3x + 2)
                           = (2x + 4)(3x + 2)
      Jadi, 6x2 + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2)

C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan. Pada bagian ini, materi tersebut dikembangkan sampai dengan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar. Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa,
yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajari contoh-contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Image:jawab aljabar 4.jpg
Contoh Soal :
Image:jawab aljabar 5.jpg
Image:jawab aljabar 6.jpg

2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

a. Perkalian
Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan pecahan biasa, yaitu

Agar kamu lebih memahami materi perkalian pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Image:jawab aljabar 7.jpg
Image:jawab aljabar 8.jpg


b. Pembagian
Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian pada pecahan biasa, yaitu :


Contoh Soal :
Image:jawab aljabar 9.jpg

3. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa untuk a bilangan riil dan n bilangan asli, berlaku:

Definisi bilangan berpangkat tersebut berlaku juga pada pecahan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Image:jawab aljabar 10.jpg


Contoh Soal :
Image:jawab aljabar 11.jpg
Image:jawab aljabar 12.jpg

4. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar

Masih ingatkah kamu materi penyederhanaan pecahan yang telah dipelajari di Kelas VII? Coba jelaskan dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Sekarang kamu akan mempelajari cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.

a. Image:jawab aljabar 13.jpg
   Untuk menyederhanakan bentuk Image:Jawab_aljabar_13.jpg , tentukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebutnya.
   Kemudian, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan tersebut.
   Faktor persekutuan dari 5x dan 10 adalah 5.
   Jadi, Image:jawab aljabar 14.jpg

b. Image:jawab aljabar 15.jpg
    Faktor persekutuan dari 9p dan 27q adalah 9.
     Jadi, Image:jawab aljabar 16.jpg

c. Image:jawab aljabar 17.jpg

   Untuk menyederhanakan bentuk  Image:jawab aljabar 17.jpg 
   tentukan faktor penyebutnya sehingga Image:jawab aljabar 18.jpg
   Jadi, Image:jawab aljabar 19.jpg

Agar kamu lebih memahami materi penyederhanaan pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
Contoh soal :
Image:jawab aljabar 20.jpg
Image:jawab aljabar 21.jpg