Pada kesempatan kali ini akan
dibahas mengenai bagaimana cara menemukan rumus volume suatu bola. Dalam
pembahasan kali ini akan digunakan suatu konsep yang dinamakan Prinsip
Cavalieri. Prinsip Cavalieri menyatakan bahwa,
Jika dua bangun ruang memiliki luas
bidang irisan yang sama jika diiris pada ketinggian yang sama, maka kedua
bangun ruang tersebut memiliki volume yang sama.
Dengan menggunakan prinsip ini, akan
didemonstrasikan bahwa kedua bangun ruang di bawah ini memiliki volume yang
sama.
Setengah bola memiliki jari-jari r.
Bangun ruang di sebelah kanan adalah suatu tabung yang memiliki tinggi r
dan jari-jari r yang dipotong oleh kerucut dengan tinggi r dan
jari-jari r. Akan didemonstrasikan bahwa jika kedua bangun ruang di atas
diiris pada ketinggian yang sama, bidang irisannya akan memiliki luas yang
sama. Kemudian akan digunakan Prinsip Cavalieri untuk menunjukkan bahwa kedua
bangun ruang di atas memiliki volume yang sama. Pada pembahasan kali ini,
pembaca dianggap telah mengetahui rumus untuk menghitung volume tabung dan
kerucut. Dengan demikian, volume “tabung dikurangi kerucut” di atas dapat
dihitung. Setengah bola di atas seharusnya memiliki volume yang sama dengan
“tabung dikurangi kerucut”. Bingung? Mari kita bahas secara lebih dalam.
Gambar sebelah kiri pada gambar di bawah ini
merupakan suatu setengah bola yang memiliki jari-jari 15 cm. Kemudian setengah
bola tersebut diiris dengan ketinggian 9 cm dari bawah dan menghasilkan bidang
irisan yang berbentuk lingkaran. Di sebelah kanan setengah bola adalah suatu
tabung yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm yang dipotong oleh
kerucut yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm. Bangun ruang ini juga
diiris dari ketinggian 9 cm dan menghasilkan suatu bidang irisan berbentuk
menyerupai cincin
Untuk
menghitung nilai x pada gambar di atas, digunakan Teorema Pythagoras
x2 + 92
x2 x2 x2 x |
= 152
= 152 – 92 = 225 – 81 = 144 = 12 |
Sehingga luas dari bidang irisan
lingkaran adalah,
Llingkaran = πr2 = π(12)2 = 144π
Kemudian akan dihitung luas bidang
irisan cincin pada gambar kanan di atas. Karena tinggi dan jari-jari kerucut
adalah sama, maka segitiga siku-siku besar di atas adalah segitiga sama kaki.
Demikian juga dengan segitiga siku-siku yang kecil. Sehingga diperoleh y
= 9.
Lcincin = πR2 – πr2 = π(152)
– π(92) = π(225 – 81) = 144π
Pada penghitungan di atas
menunjukkan bahwa kedua bidang irisan di atas memiliki luas yang sama.
Latihan
- Suatu setengah bola yang berjari-jari 15 cm diiris dari
ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.
- Suatu “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi
dan jari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang
irisan yang terbentuk.
Pada pembahasan sebelumnya
ditunjukkan bahwa dua bidang irisan dari dua bangun datar setengah bola dan
“tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama jika diiris dengan
ketinggian 9 cm dari alas. Pada latihan, juga ditunjukkan bahwa kedua bidang
irisan pada soal nomor 1 dan 2 memiliki luas bidang irisan yang sama. Kemudian
logis jika muncul suatu dugaan bahwa bidang irisan dari setengah bola dan
“tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama apabila diiris dari
ketinggian yang sama. Untuk mendemonstrasikan bahwa setengah lingkaran dengan
jari-jari r dan “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan
jari-jari r, memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris dengan
sebarang ketinggian h dari alas, akan ditemukan luas bidang irisan dari
masing-masing bangun ruang tersebut dari ketinggian h.
Luas dari bidang irisan yang
berbentuk lingkaran adalah πx2. Dengan menggunakan Teorema
Pythagoras, diperoleh x2 + h2 = r2.
Sehingga x2 = (r2 – h2).
Dengan sedikit perhitungan aljabar, diperoleh luas bidang irisan lingkaran
adalah π(r2 – h2).
|
Luas dari bidang cincin adalah πr2
– πy2. Akan tetapi, karena x dan y adalah
kaki-kaki dari segitiga sama kaki, maka y = x. Sehingga
diperoleh luas cincin adalah π(r2) – π(h2).
Dengan pemfaktoran diperoleh, π(r2 – h2)
|
dari ketinggian 9 cm dan menghasilkan suatu bidang irisan berbentuk
menyerupai cincin
Karena dipilih sebarang tinggi, dan
kedua bidang irisan di atas memiliki luas π(r2 – h2),
maka kedua bangun ruang di atas (setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut”)
memiliki volume yang sama, berdasarkan Prinsip Cavalieri.
Volume dari “tabung dikurangi
kerucut” dapat dihitung dengan mengurangkan volume tabung dengan volume
kerucut. Volume yang diperoleh sama dengan volume setengah lingkaran.
|
Vtabung
|
= A x t
= (πr2)r = πr3 |
Vkerucut
|
= (1/3)A x t
= (1/3)(πr2)r = (1/3)πr3 |
Sehingga, volume dari “tabung
dikurangi kerucut” adalah πr3 – (1/3)πr3
atau (2/3)πr3. Dengan menggunakan Prinsip Cavalieri, setengah
bola juga memiliki volume (2/3)πr3. Karena volume bola adalah
dua kali volume setengah bola, maka dapat diperoleh volume bola. Nyatakan
kesimpulanmu pada konjektur berikut ini.
Volume bola yang berjari-jari r
adalah –?—. (Konjektur Volume Bola)
No comments:
Post a Comment